若a>b>c,则使不等式1/(a-b) + 1/(b-c)≥k/(a-c)成立的最大值为

原式等价于求使1/(a-b) + 1/(b-c)≥k/(a-c)恒成立的最大k
上式等价于k<=(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)恒成立。

于是k<=[(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)]min
转化为求(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)最小值。
注意到(a-c)/(a-b)=(a-b+b-c)/(a-b)=1+(b-c)/(a-b)
(a-c)/(b-c)=(a+b-c-b)/(b-c)=(a-b)/(b-c)+1

于是(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)=2+(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)

由于a>b>c，所以b-c,a-b都为正数，可以用均值不等式：
(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)>=2
于是(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)>=4

于是
[(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)]min=4

则k要满足k<=4

k最大值为4

k的取值范围？

设a-b=x,b-c=y,则a-c=a-b+b-c=x+y
（1/（a-b））+（1/（b-c））>=（k/（a-c））
1/x+1/y>=k/(x+y)
(x+y)^2>=kxy
x^2+(2-k)xy+y^2>=0恒成立

△=((2-k)y)^2-4y^2=<0
(4-4k+k^2-4)y^2=<0
k^2-4k=<0
k(k-4)=<0
0=<k=<4

提示 a-c=a-b+b-c